Спектрален анализ (в линейната алгебра)

Голяма съветска енциклопедия

Спектрален анализ на линейни оператори синтез се очертава от механиката на теория собствени стойности и собствени вектори на матрицата (т. Е. линейни трансформации тримерно пространство) двумерен случаи (вж. Линейната оператора. Оператори на теория). Системата проучени от движението колебание теория с п степени на свобода в близост до позиции на устойчиво равновесие, която е описана чрез система от линейни диференциални уравнения на формата. където х е п двумерен вектор на общата координатна система отклонения от техни равновесни стойности, а А - е симетричен положителен определена матрица. Такова движение може да бъде представена като наслагване на хармонични трептения N (т п на нормални вибрации ..) с кръгови честоти равни на квадратни корени на собствените стойности на всички възможни л к матрица A. Намирането на нормални колебания на системата се намалява до намиране на всички собствени стойности л к; и х к собствени вектори на А. множеството от всички собствени стойности на матрицата се нарича спектър. Ако матрицата - симетричен, неговият спектър се състои от п недвижими номера л 1. LN (някои от тях може да съвпадне с друг), а самата матрица с помощта на новата координатна система може да се диагонилизирана, т.е. .. е съответната линейна трансформация в n- тримерно пространство (.. п т самостоятелно • трансформация долепени) позволява специално представяне - т п .. спектралната разлагането на формата






където Е 1. Е п - прогнози за взаимно перпендикулярни посоки на собствени вектори х 1. х п. Асиметрично същата матрица А (който съответства на не-линейна трансформация selfadjoint) е най-общо казано, спектър, състояща се от комплексни числа л л 1. 1. и може да се превърне само до по-сложно, отколкото диагонал, Jordan форма [вж. Нормално (Jordan) матрична форма], съответстващ на изображението на линейна трансформация А по-сложни в сравнение с конвенционалните спектрален разлагане описано по-горе.

При изучаване на трептения за равновесие системи състояние с безкраен брой степени на свобода (например, хомогенно или нехомогенно низ) със задачата за намиране на собствените стойности и собствени вектори на линейна трансформация в ограничен пространство трябва да бъде разширен до някои клас от линейни трансформации (т. Е. линейни оператори) в безкраен линеен пространство. В много случаи (включително, по-специално случая на вибрационното низ), съответстваща на оператора може да се впише във формата на качеството в пространството на функции е (х) на интегралната оператор, така че тук

където К (х, у) - се определя на квадратен £ х, у £ б непрекъсната функция на две променливи, които отговарят на състоянието на симетрия (х, у) = (у, х). В тези случаи, операторът А винаги има цялостна система от взаимно перпендикулярни eigenfunctions й к. което съответства на бройна последователност на истински собствени стойности л к. съставки в своята съвкупност спектър на А. Ако разгледаме функции, за които оператор А функционира като вектори на пространството Хилберт, след това действие А е, както е в случая на крайно самостоятелно трансформация долепени разтегливост понижено система пространство по взаимно ортогонални оси с коефициенти жк LK разтягане (LK на <0 такое растяжение имеет смысл растяжения с коэффициентом |l k |. объединённого с зеркальным отражением), а сам оператор А здесь снова будет иметь спектральное разложение вида






където Е к - прогнози за посоката й к.

═ S. а. първоначално разработена за неразделна оператори със симетричен ядрото K (X, Y). специфичен и непрекъснато в ограничена област, след това в рамките на общата теория на операторите удължен до много други видове линейни оператори (например, интегрални оператори с ядро ​​като функция или разположен в неограничен област на диференциални оператори в пространства на функции на един или повече променливи и т . г.), както и абстрактно предварително определени оператори линейни в безкрайни линейни пространства. Установено е, обаче, че такова разпределение е свързано със значително усложнение на S.. защото в продължение на много линейни оператори собствени стойности и функции, да се разбира в общоприетия смисъл на думата, тя не съществува. Поради това, в общия случай, спектърът трябва да бъде не е определено като съвкупност от собствените стойности на А, а като набор от тези стойности, за които средство (А - л Е) -1. където Е - самоличност (лична) операторът на не съществува, или е определено само от гъсто множество, или е безгранична оператор. Всички собствените стойности са тези на спектъра и заедно образуват си дискретна спектър; останалата част на спектъра често се нарича непрекъсната оператор спектър [понякога наричан също непрекъснат спектър от множеството л, при което оператор (А - Л Е) -1 определя на гъсто множество от елементи на пространството, но е неограничен и всички точки на спектъра, които не принадлежат към дискретна или в непрекъснат спектър наречен остатъчен спектър].

Най-развитите и S .. самостоятелно долепени линейни оператори в пространството Хилберт (обобщаване симетрична матрица) и единични линейни оператори в същото пространство (обобщаване унитарни матрици). оператор А самостоятелно долепени в пространството Хилберт е винаги чисто реално спектър (дискретна, непрекъснато, или смесени) и позволява на спектрален разлагането на формата

където Е (л) - п т .. дял на единство (съответстваща на А). т. е. на семейството на прожекционни оператори. задоволяване на специални условия. Точките на спектъра в този случай са точката на растеж на функция оператор Е (л); в случай на чисто дискретни спектър са неправилна E (L). така че тук

═ и спектрална разлагане (*) намалява до разлагането

═ единна оператор в Хилберт пространство има спектър разположен по периферията на | л | = 1, и позволява на спектрален разлагането на свързаното (*) на формата, но като се замества от интеграция - ¥ до ¥ интеграция през кръга. Проучихме специален клас на нормални оператори в хилбертово пространство, представена по подобен представителство (*) форма, но които имат право на интеграцията удължен до по-общ набор от точки л комплекс самолет представляващ А. По отношение С. а. не-selfadjoint и не-нормални линейни оператори обобщаващи произволна несиметрични матрица, това биха били обект на множество творби на J .. Birkhoff (САЩ), Т. Carleman (Швеция), М. В. Keldysha, М. Г. Kreyna (СССР), AB Szőkefalvi-Наги (Унгария), Дънфорд (САЩ) и много други. учени, но въпреки това съответната теория все още е далеч от приключване окончателност.

S. а. линейни оператори има редица важни приложения в класическата механика (особено вибрации теория) електродинамика, квантова механика, теория на стохастични процеси, интегрални и диференциални уравнения и др. области на математиката и математическата физика.

Литература P. Courant и D. Хилберт, Методи на математическа физика, Acad. с него. 3rd Ed. т 1, Москва - Ленинград 1951 .; Ахиезер N. I. Glazman IM Теорията на линейни оператори в хилбертово пространство, 2-ро издание. М. 1966; Plesner AI Спектрален теория на линейни оператори, М. 1965; Ориз Sz. F. Nagy на функционални Лекции анализ, транс. с Франция. Москва, 1954; Sz.-Nagy Foias В. хармоничен анализ на операторите на Хилберт пространство, транс. с Франция. М. 1970; Н. Дънфорд и JT Шварц. Т. Linear оператори платно. от английски език. з 2-3, М. 1966-74 .; Keldysh М. В. В. Б. Lidskiy Въпроси спектрална теория на самостоятелно конюгат оператори в книгата. Tr. Четвърто All-Union Математически конгрес, Vol. 1, L. 1963, стр. 101-20.

Споделяне на страницата